Teorema Seno y coseno

Teorema del seno

imagen 1

tomado de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/551108/Algebra_Trigonometria_y_Geometria_Analitica_2014_-_2/Tema_53.pdf

Como hemos evidenciado el primer teorema en la trigonométrica es el establecido por Pitagoras, pero este solo establece relaciones entre los lados de un triangulo rectángulo, el teorema del seno nos ayudara a conocer datos de un triangulo conociendo solo uno de sus ángulos y uno de sus lados, ya que plantea una triple igualdad (imagen 1) lo que nos permite relacionar cualquiera de las partes de esta igualdad dependiendo los datos que tengamos.

Lo anterior lo explicaremos por medio de  un ejemplo:

Ejemplo 1:

Dado el siguiente triangulo hallar los lados y ángulos que faltan

Imagen 2

El primer paso para resolverlo es identificar los datos que tenemos para saber que partes de la igualdad podemos relacionar, tenemos los lados A y B y el angulo b, para poder solucionarlo debemos relacionar aquellas en donde solo nos falte un datos.

Despejamos sen(a) ya que es el único dato de la igualdad que desconocemos y procedemos a reemplazar los valores

ahora que hemos hallado el valor de sen (a) como lo que nos piden es el angulo debemos despejar a

Dato importante

La suma de los ángulos de un triangulo es igual a 180º 

Con esto podemos hallar el angulo restante

180º = a+b+c

c= 180º-a-b

c= 180º-74.58º-40º

c=65.42º

Ahora que ya tenemos el angulo podemos repetir el proceso anterior para halar el lado C

Despejamos valores

Con esto hemos encontrado los ángulos y lados restantes

Teorema del coseno

Al igual que el anterior teorema este establece relación entre los ángulos y los lados, pero esta vez como su nombre lo indica utilizaremos la función coseno

imagen tres

tomado de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/551108/Algebra_Trigonometria_y_Geometria_Analitica_2014_-_2/Tema_53.pdf

Igual que en el anterior veremos su aplicacion en un ejemplo.

Ejemplo 2:

hallar los valores de los lados y ángulos restantes 

Dados los datos que tenemos escogeremos la formula en la cual solo nos haga falta un valor para poderlo hallar

Despejamos

Hemos encontrado el valor de C al cuadrado pero necesitamos saber el valor original de c asi que sacamos raiz cuadrada a ambos lados

Ahora usaremos otra formula para hallar el angulo a y despejamos

tenemos el valor de cos(a) asi que aplicamos la inversa para determinar el valor de a

Para el angulo restante usaremos de nuevo el dato importante

Dato importante

La suma de los ángulos de un triangulo es igual a 180º

180º = a+b+c

b= 180º-a-c

c= 180º-78.52º-30º

c=71.48º